ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 25:

Resposta C:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
Trata-se da aplicação direta da definição de derivada.

II - Correto.
Supondo $F(x,y,z) = 0 = constante$ ,  então sua derivada é igual a $0$. Lembremos que a derivada dessa função ímplicita pode ser obtida da seguinte forma:
$ {\partial F \over \partial x} + {\partial F \over \partial z} ( {\partial z \over \partial x}  )_F = 0 \Longrightarrow ( {\partial z \over \partial x}  )_F = -   { \partial F \over \partial x }  / {\partial F \over \partial z}  \iff ( {\partial z \over \partial x}  )_F = - { F_{x}(x,y,z) \over F_{z}(x,y,z) } $

III - Incorreto.
Da afirmação II, temos:
$ ( {\partial z \over \partial x}  )_F = - { F_{x} \over F_{z} } $  , então analogamente:

$ ( {\partial x \over \partial y}  )_F = - { F_{y} \over F_{x} } $  e

$ ( {\partial y \over \partial z}  )_F = - { F_{z} \over F_{y} } $ . Assim o produto indicado será:

$ {\partial z \over \partial x} {\partial x \over \partial y} {\partial y \over \partial z} = (- { F_{x} \over F_{z} }) ( -  { F_{y} \over F_{x} } )  ( - { F_{z} \over F_{y} } ) = - 1 $