domingo, 4 de dezembro de 2011

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 20:



Resposta D:

Vamos analisar cada uma das afirmaçoes:

I. Falso
Vamos usar um contra-exemplo: Sejam $a=6$, $b = 7$ e $c = 5$, 
temos então que $6 | (7+5)$ mas $ 6 \not|  7$ e $6 \not|  5$.

II. Verdadeiro
$ a | bc  \Longrightarrow bc = aq$ para $ q \in \mathbb{Z} $
$ mdc(a,b) =1 \Longrightarrow ax + by = 1$ para $x,y \in \mathbb{Z}$
Multiplicando esta última igualdade por c vem: $ acx + bcy = c $ e, então
$ c = acx + aqy \iff c = a(cx + qy)$ e portanto $ a | c $.

III. Falso
Vamos usar um contra-exemplo: Sejam $a=6 \Longrightarrow a = 2.3$, $b = 3$ e $c = 4$, 
temos então que $6 | 3.4 $ mas $ 6 \not|  3$ e $6 \not|  4$.

IV. Verdadeiro
$ a | b \Longrightarrow b = aq $ para $ q \in \mathbb{Z} $
$ mdc(b,c) = 1 \Longrightarrow bx + cy = 1$ para $x,y \in \mathbb{Z}$
Assim temos que $(aq)x +  cy = 1 \iff a(qx) + cy = 1$ e portanto $mdc(a,c) =1$.

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