Considere a função $ f: R \rightarrow R $ definida por $ y = f(x) = x^4 - 5x^2 +4 $ para cada $ x \in R $. A área da região limitada pelo gráfico da função $ y = f(x) $ , o eixo $ Ox $ e as retas $ x = 0 $ e $ x = 2 $ é igual a:
- $ \frac{16}{15} $ unidades de área.
- $ \frac{38}{15} $ unidades de área.
- $ \frac{44}{15} $ unidades de área.
- $ \frac{60}{15} $ unidades de área.
- $ \frac{76}{15} $ unidades de área.
Resposta D:
Comentário: Inicialmente eu havia calculado a integral no intervalo $ \left[ 0, 2 \right ] $ e chegado na alternativa A, mas o enunciado pede a área, então devemos interpretar as áreas negativas, que estão abaixo do eixo $ x $, em módulo. Anexei uma imagem para visualizarmos melhor essa questão.
$F(x) = {x^5 \over 5} - {5x^3 \over 3} + 4x + C \iff F(x) = \frac{3x^5 - 25x^3 + 60x}{15}+ C $ .
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo $(TFC)$ para a integral definida com $x$ variando no intervalo de 0 a 2, observando que devemos somar a área da região no intervalo $ \left[ 0, 1 \right] $ com a área da região no intervalo $ \left[ 1, 2 \right] $, nesse caso em módulo, teremos :
$ \text{Área} = F(1) - F(0) + \left | F(2) - F(1) \right | $,
assim:
$ \text{Área} = \frac{3 \cdot 1^5 - 25 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1}{15} - \frac{3 \cdot 0^5 - 25 \cdot 0^3 + 60 \cdot 0}{15} + \left | \frac{3 \cdot 2^5 - 25 \cdot 2^3 + 60 \cdot 2}{15} - \frac{3 \cdot 1^5 - 25 \cdot 1^3 + 60 \cdot 1}{15} \right | $,
$ \text{Área} = \frac{38}{15} - \frac{0}{15} + \left | \frac{16}{15} - \frac{38}{15} \right | $,
ou seja a $Área = {60 \over 15} = 4 $ unidades de área.
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