Resposta A:
Comentário: No enunciado original há, juntamente com um texto alusivo, uma foto da Catedral Metropolitana de Brasília, cuja arquitetura serviu de inspiração para a questão. Essa parte foi omitida aqui por razão de espaço. Mas isto não prejudicará nem o entendimento, nem o desenvolvimento da resolução que segue:
Numa hipérbole sabemos que:
- A distância focal é: $med(F_{1}F_{2}) = 2c$, então $2c = 50 \iff c = 25m$.
- A medida do eixo real é: $med(A_{1}A_{2}) = 2a$, então $2a = 30 \iff a = 15m$.
- A medida do eixo imaginário é: $med(B_{1}B_{2}) = 2b$, onde $b$ pode ser obtido da seguinte relação notável: $a^2 + b^2 = c^2 \iff b = \sqrt{c^2 - a^2}$, então $b = \sqrt{25^2 - 15^2} \iff b = 20m$.
- A excentricidade deve ser maior do que 1 e é dada por $ e = { c \over a }$.
- As retas diretrizes são duas retas perpendiculares à reta de suporte do eixo real e dista $a \ over e$ do centro da hipérbole. Como um dos focos é $F_{1} = (-c, 0)$, então:
- O centro da hipérbole é o ponto $O = (0,0)$.
- A equação de uma das retas diretrizes é dada por $ d_{1}: x = -{a^2 \over c} \iff x = -{15^2 \over 25} \iff x = -9$ e daí sai que $ d_1: x + 9 = 0$
- A equação reduzida de uma hipérbole de centro $O = (0,0)$ e com o eixos real $A_{1}A_{2}$ e imaginário $B_{1}B_{2}$, nas condições do problema, é dada por $ {x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1$. Substituindo os valores obtidos chegamos à $ {x^2 \over 225} - {y^2 \over 400} = 1$.
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