sexta-feira, 28 de dezembro de 2012

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 40

Considerando $ E $ um espaço métrico, $ A \subset E $ um conjunto aberto e $ (x_n) \subset E $ uma sequência convergente para $ p \in A $, analise as afirmações abaixo.

  1. O complementar de $ A $ é fechado em $ E $.
  2. Toda vizinhança aberta de $ p $ está contida em $ A $.
  3. $ x_n \in A $, para todo $ n $ suficientemente grande.

É correto apenas o que se afirma em:

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. I e III
Resposta E:

Vamos, então, analisar as afirmações:

I. Correto
Num espaço métrico o complementar de aberto é fechado e vice-versa (é um teorema).


II. Incorreto
Uma vizinhança aberta de $ p \in A $ pode conter pontos em $ A $ e pontos na fronteira de $ A $.


III. Correto
Também é um teorema: Se $ p $ é um ponto limite de um conjunto $ A $ , então toda vizinhança de $ p $ contém infinitos pontos de $ A $.











terça-feira, 25 de dezembro de 2012

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana
$ \alpha(t) = ( e^{sen(t)} - 2 cos(4t)) ( cos(t), sen(t) ) $, para $ t \in R $


A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir:

  1. $ \alpha $ é injetiva no intervalo $ ( 0, 2 \pi ) $ .
  2. $ \alpha $ tem curvatura constante.
  3. $ \alpha ( t + 2 \pi ) = \alpha ( t ) $ para $ t \in R $
  4. $ \alpha $ tem vetor tangente unitário em $ t = 0 $ com $ \alpha ' ( 0 ) = ( -1, 0 ) $.
  5. O traço de $ \alpha $ está contido em um círculo de raio $ r < ( e + 2 ) $ .

É correto apenas o que se afirma em:
  1. II
  2. I e II
  3. I e IV
  4. III e V
  5. III, IV e V
Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Incorreto.
Pelo gráfico de $ \alpha $ claramente vê-se que a curva não é injetiva, por exemplo substitua $ t = \frac{\pi}{4} $ e   $ t = \frac{3 \pi}{4} $.

II - Incorreto.
Basta observar a curva apresentada na figura.

III - Correto.
Ok. pois o período de $ \alpha $ é igual a $ 2 \pi $ .

IV - Incorreto.
Pois $ \alpha ' (0) = ( -1, 1 ) $ que não é um vetor unitário.  

V - Correto.
Basta observar a curva apresentada na figura, considerando que $ e + 2 > 5,7 $.


ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 38:

O conjunto $G = \left \{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, \left | ad - bc \right | = 1
 \right \}$, com a operação usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade $ I = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $. Dado um elemento $A \in G$, define-se a ordem de $A$ como sendo o menor inteiro positivo $m$ tal que $A^m = I$, caso $m$ exista. Se não existir, diz-se que $A$ tem ordem infinita.
Considerando $ A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} $ e $ I = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $, avalie as asserções a seguir:
.
O elemento $ AB $ tem ordem seis
PORQUE
$ A $ tem ordem três e $ B $ tem ordem dois. 
.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

  1. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
  2. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
  3. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
  4. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
  5. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.
Resposta D:

Vamos analisar as asserções dadas:

Primeira - Falsa.

$ AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ (AB)^6 = \begin{bmatrix} 13 & -8 \\ -8 & 5 \end{bmatrix} $ , logo $ AB $ não possui ordem seis.

Segunda - Verdadeira.

$ A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ , logo $ A $ possui ordem três e $ B $ possui ordem dois.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 37:

Para resolver a equação $ x^2 = cos(x) $ utiliza-se a Fórmula de Taylor da função $ cos(x) $. Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:

  1. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem na fórmula de Taylor, são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.
  2. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para $ cos(x) $ é limitado por $ \frac{\left | x^3 \right |}{6} $.
  3. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda ordem para $ cos(x) $, os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em:

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. II e III

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
A expansão de Taylor, de segunda ordem, para $ cos(x) $ é: $ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} $, então a equação dada fica assim:
$ x^2 = 1 - \frac{x^2}{2} \iff x^2 =  \frac{2}{3} $ e portanto as raízes são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.

II - correto.
Sim pois o (n+1)-ésimo termo da expansão de Taylor determina o erro de truncamento. Como temos $ n=2 $ então $ n+1=3 $ e o erro é limitado por $ \left | \frac{x^3}{3!} \right | $.

III - Incorreto.
Obviamente que pelas alternativas dadas na questão não haveria a necessidade de avaliar essa afirmação. Mas podemos verificar que, usando $ \frac{\pi}{6} $ como exemplo temos que o valor exato de seu cosseno é $ 0.5 $.
Usando a série de Taylor de segunda ordem temos o valor de $ 0,45169 $ o que implica em um erro de aproximadamente 10% . Usando a expansão de quarta ordem, $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} $, nós obtemos um valor de $ 0,50180 $ para o cosseno, isto significa praticamente 0% de erro.


domingo, 23 de dezembro de 2012

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 36:

Resposta C:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
Essa é uma das características das classes de equivalência.

II - Incorreto.
Essa é a definição de conjunto quociente.

III - Correto.
É compatível com a definição proposta no enunciado.

IV - Incorreto.
Basta ver que a relação $ \geq $ não é uma relação de equivalência em $ Z $, pois não é reflexiva.