Uma pitada de álgebra com números complexos - continuação

Na postagem anterior citei dois resultados sobre os números complexos que agora vou detalhar, são eles:

1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
   $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $
   
   Este resultado pode ser obtido graficamente dado que o conjugado de um número complexo é a reflexão do mesmo no plano em torno do eixo real. Aqui vou apresentar a explicação algébrica desse resultado.
   
   Sejam $z = a + bi$ e  $w = c + di$ e os respectivos conjugados  $ \bar{z} = a - bi$ e  $  \bar{w} = c - di $.
   
   Calculemos a distância entre $z$ e $w$ :
   
   (A) $\left| z - w \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $ .
   
   Agora calculemos a distância entre   $ \bar{z} $ e $ \bar{w} $ :  
   
   $\left| \bar{z} - \bar{w} \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (-b+d)^{2}} =  \sqrt { (a-c)^{2} + (- (b-d) )^{2}} =  $
   
   (B) $ \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $
   
   Portanto, por (A) e (B) temos que  $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ .
2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
   $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $
   
   Sejam $z = a + bi$ e  $ \bar{z} = a - bi $ o seu conjugado. Calculemos o produto entre eles:
   
   $ z \bar{z} = ( a + bi ) ( a - bi ) = a^2 - (bi)^2 =  a^2 - (b^2i^2) = a^2 -( -b^2 ) = a^2 + b^2 = $
   
   $ (\sqrt{ a^2 + b^2 })^{2} =   {\left| z \right|}^2 $ .

É isso por hoje.

Uma pitada de álgebra com números complexos

Vamos trabalhar um pouquinho com números complexos através de uma solução para o seguinte problema:

Sejam $z$ e $w$ dois números complexos distintos. Sabendo-se que o módulo de $z$ é igual a 1, mostre que:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$

Solução:

Para tal vamos anotar dois resultados, fáceis de deduzir, sobre os números complexos:

1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
   $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ 
2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
   $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $

Com isso podemos mostrar que $  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ da seguinte forma:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1 \iff  \frac{ \left| z - w \right| }{\left| 1 - z \bar w \right|} = 1 \iff \left| z - w \right|  = \left| 1 - z \bar w \right| $

Então devemos mostrar que $ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ , portanto vamos desenvolver o primeiro membro da igualdade:

$ \left| z - w \right| = \left|  \bar{z} - \bar w \right| $ ( do resultado 1 acima ).


$ \left| \bar{z} - \bar w \right| = \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| $ ( do resultado 2 acima e da hipótese de que  o módulo de $z$ é igual a 1).


$ \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| = \left| \frac{1 - z \bar{w}}{z} \right| =  \frac{ \left| 1 - z \bar{w} \right| }{ \left| z \right| } $ , e como o $|z| = 1$ concluímos que

$ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ e portanto:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ .