Uma pitada de álgebra com números complexos

Vamos trabalhar um pouquinho com números complexos através de uma solução para o seguinte problema:

Sejam $z$ e $w$ dois números complexos distintos. Sabendo-se que o módulo de $z$ é igual a 1, mostre que:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$

Solução:

Para tal vamos anotar dois resultados, fáceis de deduzir, sobre os números complexos:

1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
   $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ 
2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
   $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $

Com isso podemos mostrar que $  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ da seguinte forma:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1 \iff  \frac{ \left| z - w \right| }{\left| 1 - z \bar w \right|} = 1 \iff \left| z - w \right|  = \left| 1 - z \bar w \right| $

Então devemos mostrar que $ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ , portanto vamos desenvolver o primeiro membro da igualdade:

$ \left| z - w \right| = \left|  \bar{z} - \bar w \right| $ ( do resultado 1 acima ).


$ \left| \bar{z} - \bar w \right| = \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| $ ( do resultado 2 acima e da hipótese de que  o módulo de $z$ é igual a 1).


$ \left| \frac{1}{z} - \bar{w} \right| = \left| \frac{1 - z \bar{w}}{z} \right| =  \frac{ \left| 1 - z \bar{w} \right| }{ \left| z \right| } $ , e como o $|z| = 1$ concluímos que

$ \left| z - w \right| $ é igual a $ \left| 1 - z \bar w \right| $ e portanto:

$  \left| \frac{z - w}{1 - z \bar w} \right| = 1$ .