terça-feira, 25 de dezembro de 2012

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana
$ \alpha(t) = ( e^{sen(t)} - 2 cos(4t)) ( cos(t), sen(t) ) $, para $ t \in R $


A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir:

  1. $ \alpha $ é injetiva no intervalo $ ( 0, 2 \pi ) $ .
  2. $ \alpha $ tem curvatura constante.
  3. $ \alpha ( t + 2 \pi ) = \alpha ( t ) $ para $ t \in R $
  4. $ \alpha $ tem vetor tangente unitário em $ t = 0 $ com $ \alpha ' ( 0 ) = ( -1, 0 ) $.
  5. O traço de $ \alpha $ está contido em um círculo de raio $ r < ( e + 2 ) $ .

É correto apenas o que se afirma em:
  1. II
  2. I e II
  3. I e IV
  4. III e V
  5. III, IV e V
Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Incorreto.
Pelo gráfico de $ \alpha $ claramente vê-se que a curva não é injetiva, por exemplo substitua $ t = \frac{\pi}{4} $ e   $ t = \frac{3 \pi}{4} $.

II - Incorreto.
Basta observar a curva apresentada na figura.

III - Correto.
Ok. pois o período de $ \alpha $ é igual a $ 2 \pi $ .

IV - Incorreto.
Pois $ \alpha ' (0) = ( -1, 1 ) $ que não é um vetor unitário.  

V - Correto.
Basta observar a curva apresentada na figura, considerando que $ e + 2 > 5,7 $.


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