ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 38:

O conjunto $G = \left \{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, \left | ad - bc \right | = 1
 \right \}$, com a operação usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade $ I = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $. Dado um elemento $A \in G$, define-se a ordem de $A$ como sendo o menor inteiro positivo $m$ tal que $A^m = I$, caso $m$ exista. Se não existir, diz-se que $A$ tem ordem infinita.
Considerando $ A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} $ e $ I = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $, avalie as asserções a seguir:
.

O elemento $ AB $ tem ordem seis

PORQUE

$ A $ tem ordem três e $ B $ tem ordem dois. 

.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

1. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
2. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
3. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
4. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
5. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Resposta D:

Vamos analisar as asserções dadas:

Primeira - Falsa.

$ AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ (AB)^6 = \begin{bmatrix} 13 & -8 \\ -8 & 5 \end{bmatrix} $ , logo $ AB $ não possui ordem seis.

Segunda - Verdadeira.

$ A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ , logo $ A $ possui ordem três e $ B $ possui ordem dois.