terça-feira, 25 de dezembro de 2012

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 37:

Para resolver a equação $ x^2 = cos(x) $ utiliza-se a Fórmula de Taylor da função $ cos(x) $. Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:

  1. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem na fórmula de Taylor, são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.
  2. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para $ cos(x) $ é limitado por $ \frac{\left | x^3 \right |}{6} $.
  3. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda ordem para $ cos(x) $, os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em:

  1. I
  2. II
  3. III
  4. I e II
  5. II e III

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
A expansão de Taylor, de segunda ordem, para $ cos(x) $ é: $ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} $, então a equação dada fica assim:
$ x^2 = 1 - \frac{x^2}{2} \iff x^2 =  \frac{2}{3} $ e portanto as raízes são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.

II - correto.
Sim pois o (n+1)-ésimo termo da expansão de Taylor determina o erro de truncamento. Como temos $ n=2 $ então $ n+1=3 $ e o erro é limitado por $ \left | \frac{x^3}{3!} \right | $.

III - Incorreto.
Obviamente que pelas alternativas dadas na questão não haveria a necessidade de avaliar essa afirmação. Mas podemos verificar que, usando $ \frac{\pi}{6} $ como exemplo temos que o valor exato de seu cosseno é $ 0.5 $.
Usando a série de Taylor de segunda ordem temos o valor de $ 0,45169 $ o que implica em um erro de aproximadamente 10% . Usando a expansão de quarta ordem, $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} $, nós obtemos um valor de $ 0,50180 $ para o cosseno, isto significa praticamente 0% de erro.


2 comentários:

  1. Tem um erro aí na afirmação 3. Cos pi/6=0.87 aproximadamente, não 0,5.

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  2. Bem observado caro Samuel, muito obrigado. Só que agora você me criou um "problema" - pois vou ter de refazer essa questão!

    Valeu. Abraço.

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