Raiz quadrada irracional

Uma discussão, em www.ajudamatematica.com ,  pedia a demonstração que a raiz quadrada de números inteiros positivos pares, que não são quadrados perfeitos,  é irracional. Iniciei a participação usando uma hipótese inadequada que o número par era da forma 2k e k seria um número primo. Mas isso não se sustentou por muito tempo. Eu mesmo cheguei à conclusão que havia muitos números nessa forma nos quais o k não era primo. Depois acabei apresentando uma solução para o problema.

Nesta postagem vou apresentar uma outra prova mais geral e mais simples, muito parecida com aquela que se usa para provar que $ \sqrt{2} $ é irracional.

Nosso problema é:

Mostrar que raízes quadradas de números inteiros, que não são quadrados perfeitos, são irracionais, isto é:

Seja $a$ um número inteiro não quadrado perfeiro então $ \sqrt{a} $ é irracional.

Prova:
Seja $ \sqrt{a} = \frac{p}{q} $,  onde  e  são inteiros e $ mdc(p,q) = 1 $.
Então $ a = \frac{p^2}{q^2} => aq^2 = p^2 $. Como $a$ não é um quadrado perfeito,  deve ser divisível por $a$. Assim, seja $p = ka $, o que nos leva a $ aq^2 = k^2a^2 => q^2 = k^2a $. Logo $q$  também é divisível por $a$. Concluímos que  e  possuem um fator em comum ($a$). Isso contraria nossa hipótese que   $ mdc(p,q) = 1 $.  Portanto, $ \sqrt{a} $ é irracional.


Observação: Essa é uma prova geral e prova também, em particular, os casos em que o número inteiro $a$ é par.

Ficamos por aqui. Até mais.