Mais álgebra com os números complexos

Nesta postagem vamos mostrar que o conjugado da divisão de dois números complexos é igual a divisão dos respectivos conjugados.


Sejam $ z = a + bi $, $ w = c + di $ dois números complexos e sejam $ \bar z = a - bi $, $ \bar w = c - di $ seus respectivos conjugados.


Assim $ \frac{z}{w} = \frac{(a + bi)}{(c+ di)} $ . 


Agora vamos usar a velha e boa dica de multiplicar tanto o numerador quanto o denominador pelo conjugado do denominador, ou seja: multiplicar por $ \frac{(c-di)}{(c-di)} $ . Fazemos isto para eliminar a parte imaginária ( o $i$ ) no denominador. Então continuando:


$ \frac{z}{w} = \frac{(a + bi)}{(c+ di)} \frac{(c - di)}{(c - di)} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 - d^2} $


Então temos que $ \frac{z}{w}= \frac{[(ac + bd) + (bc - ad)i]}{c^2 - d^2}$ . 


O conjugado desse resultado é: $ \bar{(\frac{z}{w})}  = \frac{(ac + bd) - (bc - ad)i}{c^2 - d^2} $ , que fatorando fica  


$ =  \frac{(a - bi)(c + di)}{c^2 - d^2} $ , agora multiplicamos, novamente, por $ \frac{(c - di)}{(c - di)} $, isto é:


$ = \frac{(a -bi)(c + di)}{c^2 - d^2} \frac{(c - di)}{(c - di)} = \frac{(a - bi)}{(c - di)}$ . 


Com isto mostramos que $ \bar{(\frac{z}{w})} = \left( \frac{\bar z}{\bar w} \right) $.


Por enquanto é isso.