Hoje voltamos ao assunto números complexos para resolver o seguinte problema
Sejam $ z, w, u \in C $, tais que:
$ z + w + u = 0 $, $ | u - z | = | w | \ne 0 $, $ | u - w | = | z | \ne 0 $
prove que u=0.
Então vamos lá:
Consideremos A, B, C, pontos no plano, como as imagens dos complexos z,w, u respectivamente. E seja O a origem do plano, isto é O=(0,0).
Assim:
$ |u-z| = |w| \Rightarrow AC = OB $
$ |u-w| = |z| \Rightarrow BC = OA $
Dessa forma temos que AOBC é um paralelogramo e portanto: $ u = z + w $
Assim nós temos:
$ z + w + u = 0 \Rightarrow 2 u = 0 \Rightarrow u=0 $
Observe que foi usada a característica geométrica dos números complexos para facilitar a resolução do problema. Isso é possível pois todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano. No caso, a partir dessa representação pudemos perceber a relação entre os módulos e daí deduzir o paralelogramo e chegar ao resultado desejado.
É isso por hoje.
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