sábado, 18 de fevereiro de 2012

Uma pitada de álgebra com números complexos - continuação

Na postagem anterior citei dois resultados sobre os números complexos que agora vou detalhar, são eles:
  1. A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
    $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $

    Este resultado pode ser obtido graficamente dado que o conjugado de um número complexo é a reflexão do mesmo no plano em torno do eixo real. Aqui vou apresentar a explicação algébrica desse resultado.

    Sejam $z = a + bi$ e  $w = c + di$ e os respectivos conjugados  $ \bar{z} = a - bi$ e  $  \bar{w} = c - di $.

    Calculemos a distância entre $z$ e $w$ :

    (A) $\left| z - w \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $ .

    Agora calculemos a distância entre   $ \bar{z} $ e $ \bar{w} $ :  

    $\left| \bar{z} - \bar{w} \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (-b+d)^{2}} =  \sqrt { (a-c)^{2} + (- (b-d) )^{2}} =  $

    (B) $ \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $

    Portanto, por (A) e (B) temos que  $\left| z - w \right| =  \left| \bar z - \bar w \right|  $ .
  2. O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
    $ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $

    Sejam $z = a + bi$ e  $ \bar{z} = a - bi $ o seu conjugado. Calculemos o produto entre eles:

    $ z \bar{z} = ( a + bi ) ( a - bi ) = a^2 - (bi)^2 =  a^2 - (b^2i^2) = a^2 -( -b^2 ) = a^2 + b^2 = $

    $ (\sqrt{ a^2 + b^2 })^{2} =   {\left| z \right|}^2 $ .
É isso por hoje.

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