- A distância entre dois números complexos é igual à distância dos respectivos conjugados, i.e:
$\left| z - w \right| = \left| \bar z - \bar w \right| $
Este resultado pode ser obtido graficamente dado que o conjugado de um número complexo é a reflexão do mesmo no plano em torno do eixo real. Aqui vou apresentar a explicação algébrica desse resultado.
Sejam $z = a + bi$ e $w = c + di$ e os respectivos conjugados $ \bar{z} = a - bi$ e $ \bar{w} = c - di $.
Calculemos a distância entre $z$ e $w$ :
(A) $\left| z - w \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $ .
Agora calculemos a distância entre $ \bar{z} $ e $ \bar{w} $ :
$\left| \bar{z} - \bar{w} \right| = \sqrt { (a-c)^{2} + (-b+d)^{2}} = \sqrt { (a-c)^{2} + (- (b-d) )^{2}} = $
(B) $ \sqrt { (a-c)^{2} + (b-d)^{2}} $
Portanto, por (A) e (B) temos que $\left| z - w \right| = \left| \bar z - \bar w \right| $ . - O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado do módulo do número complexo, i.e:
$ z \bar z = {\left| z \right|}^2 $
Sejam $z = a + bi$ e $ \bar{z} = a - bi $ o seu conjugado. Calculemos o produto entre eles:
$ z \bar{z} = ( a + bi ) ( a - bi ) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - (b^2i^2) = a^2 -( -b^2 ) = a^2 + b^2 = $
$ (\sqrt{ a^2 + b^2 })^{2} = {\left| z \right|}^2 $ .
É isso por hoje.
Nenhum comentário:
Postar um comentário