Resposta E:
Vamos verificar os semicírculos baseados no lado do hexágono em I e no lado do quadrado em II, contendo as lunas L1 e L2.
No caso da figura I esse semicírculo, de diâmetro r que é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência de raio r, possui área é igual a:
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos.
No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é sua base e que é o lado do hexágono regular inscrito, a altura é r √ 3 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o hexágono. A área desse triângulo é igual a:
No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r, base r √ 2 e que é o lado do quadrado inscrito, a altura é r √ 2 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o quadrado. A área desse triângulo é igual a:
T2 = 1/2 x base x altura = 1/2 . r √ 2 . r √ 2 / 2 , assim T2 = r 2 / 2
Ainda, Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares.
No caso da figura I será esse setor circular terá área igual a:
Com os resultados acima podemos calcular as áreas A1 e A2 a saber:
No caso da figura I esse semicírculo, de diâmetro r que é o lado do hexágono regular inscrito na circunferência de raio r, possui área é igual a:
C1 = 1/2 . π x (diâmetro/2) 2 = 1/2 . π . ( r / 2 ) 2 , assim C1 = π . r 2 / 8
No caso da figura II o semicírculo, de diâmetro r √ 2 que é o lado do quadrado inscrito na circunferência de raio r, possui área é igual a:
C2 = 1/2 . π x (diâmetro/2) 2 = 1/2 . π . ( r √ 2 / 2 ) 2 , assim C2 = π . r 2 / 4
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos.
No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é sua base e que é o lado do hexágono regular inscrito, a altura é r √ 3 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o hexágono. A área desse triângulo é igual a:
T1 = 1/2 x base x altura = 1/2 . r . r √ 3 / 2, assim T1 = r 2 √ 3 / 4
No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r, base r √ 2 e que é o lado do quadrado inscrito, a altura é r √ 2 / 2, que é a apótema de cada triângulo que compõe o quadrado. A área desse triângulo é igual a:
T2 = 1/2 x base x altura = 1/2 . r √ 2 . r √ 2 / 2 , assim T2 = r 2 / 2
Ainda, Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares.
No caso da figura I será esse setor circular terá área igual a:
S1 = π x raio 2 x angulo / 360 = π . r 2 . 60 / 360 , assim S1 = π . r 2 / 6
No caso da figura II o semicírculo possui área é igual a:
S2 = π x raio 2 x angulo / 360 = π . r 2 . 90 / 360 , assim S2 = π . r 2 / 4
Com os resultados acima podemos calcular as áreas A1 e A2 a saber:
A1 = C1 + T1 - S1 = π . r 2 / 8 + r 2 √ 3 / 4 - π . r 2 / 6 , assimA1 = r 2 . ( 6 √ 3 - π ) / 24
A2 = C2 + T2 - S2 = π . r 2 / 4 + r 2 / 2 - π . r 2 / 4, assim
A2 = r 2 / 2 (Vejam só: é área do triângulo T2! Por quê?)
Finalmente vamos calcular a razão entre as áreas:
A1 / A2 = r 2 . ( 6 √ 3 - π ) / 24 / r 2 / 2, portanto:
A1 / A2 = ( 6 √ 3 - π ) / 12 que é um número irracional.
Concluímos então que a razão entre A1 e A2 não é um número racional e, também, que A1 e A2 não são da forma explicitada na segunda asserção.
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