ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 10:

Resposta B:


Dividindo por n a expressão:  $ \frac{n \sqrt[n]{e}}{e} < \sqrt[n]{n!} < \frac{n \sqrt[n]{ne}}{e}$ .


Obtemos: $ \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} < \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} < \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e} $ .


Aplicando o limite no infinito:

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} \le \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} \le \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e} $ .

Vamos verificar o limite de cada membro da expressão acima.

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{e}}{e} = \frac{1}{e} $ 

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = a $

$ \lim_{n \rightarrow + \infty} \frac{ \sqrt[n]{ne}} {e}  = \frac{1}{e}  $

Chegamos assim à seguinte expressão: $ \frac{1}{e} \le a \le \frac{1}{e} $ 

E portanto: $ a = \frac{1}{e} $.