Como vimos no artigo anterior sobre demonstrações matemáticas, as provas do tipo "se e somente se" são feitas em duas partes. Vamos ver um exemplo para tentar deixar isso um pouco mais claro:
Mostre que |x| < a <=> -a < x < a, para a > 0.
Então temos que fazer duas demonstrações, a saber:
1) Se |x| < a então -a < x < a, isto é: |x| < a => -a < x < a
e
2) Se -a < x < a então |x| < a, isto é: -a < x < a => x| < a
Antes de mais nada convém lembrar que:
|x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0.
(=>) Então vamos começar provando a primeira parte: |x| < a => -a < x < a
Aqui, considerando o módulo, temos dois casos a verificar: x >= 0 e x < 0. Se x >= 0, temos |x| = x e pela hipótese |x| < a então x < a. Como a > 0, pelo enunciado, temos que -a < 0 e portanto -a < x. Assim concluímos a demonstração de que -a < x < a. No segundo caso temos que se x < 0, então |x| = -x. Da hipótese de que |x| < a teremos também -x < a, daí decorre que -a < x. Já que x < 0, obviamente, x < a. Concluímos, assim, que -a < x < a.
(<=) Agora vamos para a segunda parte da prova: -a < x < a => x| < a. Analogamente, devemos considerar dois casos: x >= 0 e x < 0. Se x >= 0, temos |x| = x e da hipótese de x < a, temos que |x| < a e a prova está feita. Agora, se x < 0, temos |x| = -x. Disto e da hipótese de que -a < x obtemos -x < a e, também, que |x| < a. Assim a prova está completa.
Observe que provamos na ordem do enunciado, isto é provamos primeiro a implicação (=>) e, depois a recíproca (<=) mas nada impede que façamos na ordem inversa. Fica a seu critério a ordem usada na prova.
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