ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 40

Considerando $ E $ um espaço métrico, $ A \subset E $ um conjunto aberto e $ (x_n) \subset E $ uma sequência convergente para $ p \in A $, analise as afirmações abaixo.

1. O complementar de $ A $ é fechado em $ E $.
2. Toda vizinhança aberta de $ p $ está contida em $ A $.
3. $ x_n \in A $, para todo $ n $ suficientemente grande.

É correto apenas o que se afirma em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. I e III

Resposta E:

Vamos, então, analisar as afirmações:

I. Correto
Num espaço métrico o complementar de aberto é fechado e vice-versa (é um teorema).


II. Incorreto
Uma vizinhança aberta de $ p \in A $ pode conter pontos em $ A $ e pontos na fronteira de $ A $.


III. Correto
Também é um teorema: Se $ p $ é um ponto limite de um conjunto $ A $ , então toda vizinhança de $ p $ contém infinitos pontos de $ A $.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 39

O gráfico abaixo representa o traço da curva parametrizada diferenciável plana
$ \alpha(t) = ( e^{sen(t)} - 2 cos(4t)) ( cos(t), sen(t) ) $, para $ t \in R $

A respeito dessa curva, avalie as afirmações a seguir:

1. $ \alpha $ é injetiva no intervalo $ ( 0, 2 \pi ) $ .
2. $ \alpha $ tem curvatura constante.
3. $ \alpha ( t + 2 \pi ) = \alpha ( t ) $ para $ t \in R $
4. $ \alpha $ tem vetor tangente unitário em $ t = 0 $ com $ \alpha ' ( 0 ) = ( -1, 0 ) $.
5. O traço de $ \alpha $ está contido em um círculo de raio $ r < ( e + 2 ) $ .

É correto apenas o que se afirma em:

1. II
2. I e II
3. I e IV
4. III e V
5. III, IV e V

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Incorreto.
Pelo gráfico de $ \alpha $ claramente vê-se que a curva não é injetiva, por exemplo substitua $ t = \frac{\pi}{4} $ e   $ t = \frac{3 \pi}{4} $.

II - Incorreto.
Basta observar a curva apresentada na figura.

III - Correto.
Ok. pois o período de $ \alpha $ é igual a $ 2 \pi $ .

IV - Incorreto.
Pois $ \alpha ' (0) = ( -1, 1 ) $ que não é um vetor unitário.  

V - Correto.
Basta observar a curva apresentada na figura, considerando que $ e + 2 > 5,7 $.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 38:

O conjunto $G = \left \{ \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix} : a,b,c,d \in \mathbb{Z}, \left | ad - bc \right | = 1
 \right \}$, com a operação usual de produto de matrizes, forma um grupo, em que o elemento neutro é a matriz identidade $ I = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $. Dado um elemento $A \in G$, define-se a ordem de $A$ como sendo o menor inteiro positivo $m$ tal que $A^m = I$, caso $m$ exista. Se não existir, diz-se que $A$ tem ordem infinita.
Considerando $ A = \begin{bmatrix}
-1 & -1 \\
1 & 0
\end{bmatrix} $ e $ I = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix} $, avalie as asserções a seguir:
.

O elemento $ AB $ tem ordem seis

PORQUE

$ A $ tem ordem três e $ B $ tem ordem dois. 

.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.

1. As duas asserções são proposições verdadeiras, e a segunda é uma justificativa correta da primeira.
2. As duas asserções são proposições verdadeiras, mas a segunda não é uma justificativa correta da primeira.
3. A primeira asserção é uma proposição verdadeira, e a segunda, uma proposição falsa.
4. A primeira asserção é uma proposição falsa, e a segunda, uma proposição verdadeira.
5. Tanto a primeira quanto a segunda asserções são proposições falsas.

Resposta D:

Vamos analisar as asserções dadas:

Primeira - Falsa.

$ AB = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $ e $ (AB)^6 = \begin{bmatrix} 13 & -8 \\ -8 & 5 \end{bmatrix} $ , logo $ AB $ não possui ordem seis.

Segunda - Verdadeira.

$ A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ e $ B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $ , logo $ A $ possui ordem três e $ B $ possui ordem dois.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 37:

Para resolver a equação $ x^2 = cos(x) $ utiliza-se a Fórmula de Taylor da função $ cos(x) $. Considerando essa observação, analise as afirmações a seguir:

1. As raízes dessa equação, obtidas com uma aproximação de segunda ordem na fórmula de Taylor, são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.
2. O erro de truncamento de uma aproximação de segunda ordem para $ cos(x) $ é limitado por $ \frac{\left | x^3 \right |}{6} $.
3. Ao usar aproximações de quarta ordem em vez de aproximações de segunda ordem para $ cos(x) $, os erros de truncamento são reduzidos em 25%.

É correto apenas o que se afirma em:

1. I
2. II
3. III
4. I e II
5. II e III

Resposta D:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
A expansão de Taylor, de segunda ordem, para $ cos(x) $ é: $ cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} $, então a equação dada fica assim:
$ x^2 = 1 - \frac{x^2}{2} \iff x^2 =  \frac{2}{3} $ e portanto as raízes são $ \pm \frac{\sqrt{6}}{3} $.

II - correto.
Sim pois o (n+1)-ésimo termo da expansão de Taylor determina o erro de truncamento. Como temos $ n=2 $ então $ n+1=3 $ e o erro é limitado por $ \left | \frac{x^3}{3!} \right | $.

III - Incorreto.
Obviamente que pelas alternativas dadas na questão não haveria a necessidade de avaliar essa afirmação. Mas podemos verificar que, usando $ \frac{\pi}{6} $ como exemplo temos que o valor exato de seu cosseno é $ 0.5 $.
Usando a série de Taylor de segunda ordem temos o valor de $ 0,45169 $ o que implica em um erro de aproximadamente 10% . Usando a expansão de quarta ordem, $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} $, nós obtemos um valor de $ 0,50180 $ para o cosseno, isto significa praticamente 0% de erro.

ENADE 2011 - MATEMÁTICA - QUESTÃO 36:

Resposta C:

Vamos analisar as afirmações dadas:

I - Correto.
Essa é uma das características das classes de equivalência.

II - Incorreto.
Essa é a definição de conjunto quociente.

III - Correto.
É compatível com a definição proposta no enunciado.

IV - Incorreto.
Basta ver que a relação $ \geq $ não é uma relação de equivalência em $ Z $, pois não é reflexiva.

Asas e Raízes

Hoje, depois de algum tempo ausente, gostaria de retomar as postagens do blog. Desta vez, excepcionalmente, com um assunto fora da temática principal. Trata-se de um texto em homenagem aos pais que escrevi por ocasião da formatura no curso  de matemática e que agora venho compartilhar neste espaço.

Asas e Raízes

"Bendito aquele que consegue dar asas e raízes aos seus filhos". Essa frase atribuída a Dalai Lama sintetiza o papel dos pais em nossas vidas.

Desde o momento que os filhos nascem, até mesmo antes disso, os pais iniciam o trabalho, que não tem prazo para terminar, de dar-lhes raízes e asas. Os filhos, por sua vez, passam a viver sob as asas dos pais até que as suas próprias estejam prontas para os voos que desejarem ou que a vida lhes impuser.

Os pais criam os filhos dando-lhes amor, carinho, cuidados. Mostram os caminhos a seguir, valorizando a família, a dignidade, o respeito, a ética, a moral e a boa convivência com as outras pessoas. Mostram aquilo que consideram certo ou errado. Corrigem, perdoam, amparam. Abdicam, em muitos casos, do seu próprio bem-estar para que seus filhos o tenham. Estão dando-lhes as raízes sólidas da existência humana.

Os pais também ensinam, o tempo todo. Ensinam aos filhos os cuidados pessoais mais básicos e necessários à sobrevivência. Ensinam como os filhos devem se comportar. Ensinam-os a conter e a expor as emoções. Ensinam tanto o valor das conquistas como, também, o valor dos tropeços. Ensinam-os a ouvir não, a dizer sim. Colocam seus filhos na escola e lutam para que lá permaneçam e tenham sucesso. Estão dando-lhes asas cada vez mais vigorosas para que um dia voem por si.

As raízes são as bases, mais do que físicas, que alicerçam a vida dos filhos, lhes dão o rumo e são o porto seguro para onde podem voltar quando quiserem ou necessitarem. As asas, por sua vez, são os instrumentos pelos quais se pode ir além, alcançar novos patamares e vislumbrar novos caminhos.

Nesse momento no qual os filhos, os formandos aqui presentes, conquistam mais um reforço para as suas asas. Momento no qual preparam novos voos, mais seguros e independentes, vamos deixar registrada a nossa gratidão pelas raízes e as asas que nossos benditos pais nos deram.

De volta aos complexos

Hoje voltamos ao assunto números complexos para resolver o seguinte problema

Sejam $ z, w, u \in C $, tais que:

$ z + w + u = 0 $, $ | u - z | = | w | \ne 0 $, $ | u - w | = | z | \ne 0 $

prove que u=0.


Então vamos lá:

Consideremos A, B, C, pontos no plano,  como as imagens dos complexos z,w, u respectivamente.  E seja O a origem do plano, isto é O=(0,0).


Assim:

$ |u-z| = |w| \Rightarrow AC = OB $



$ |u-w| = |z| \Rightarrow BC = OA $


Dessa forma temos que  AOBC é um paralelogramo e portanto: $ u = z + w $ 


Assim nós temos:


$ z + w + u = 0 \Rightarrow 2 u = 0 \Rightarrow u=0 $

Observe que foi usada a característica geométrica dos números complexos  para facilitar a resolução do problema. Isso é possível pois todo número complexo pode ser representado por um ponto no plano. No caso, a partir dessa representação pudemos perceber a relação entre os módulos e daí deduzir o paralelogramo e chegar ao resultado desejado.
É isso por hoje.